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446. 等差数列划分 II - 子序列 (Hard)

给你一个整数数组 nums ，返回 nums 中所有 等差子序列 的数目。

如果一个序列中 至少有三个元素 ，并且任意两个相邻元素之差相同，则称该序列为等差序列。

  • 例如， [1, 3, 5, 7, 9]、 [7, 7, 7, 7] 和 [3, -1, -5, -9] 都是等差序列。
  • 再例如， [1, 1, 2, 5, 7] 不是等差序列。

数组中的子序列是从数组中删除一些元素（也可能不删除）得到的一个序列。

  • 例如， [2,5,10] 是 [1,2,1,2,4,1,5,10] 的一个子序列。

题目数据保证答案是一个 32-bit 整数。

示例 1：

输入：nums = [2,4,6,8,10]
输出：7
解释：所有的等差子序列为：
[2,4,6]
[4,6,8]
[6,8,10]
[2,4,6,8]
[4,6,8,10]
[2,4,6,8,10]
[2,6,10]

示例 2：

输入：nums = [7,7,7,7,7]
输出：16
解释：数组中的任意子序列都是等差子序列。

提示：

  • 1 <= nums.length <= 1000
  • -2³¹ <= nums[i] <= 2³¹ - 1

解题思路 链接到标题

这题很明显需要使用动态规划来解决，例如以 $dp[i]$ 表示以 nums[i] 结尾的子序列的长度，那么要如何从 $dp[j]$ 转移过来呢？要从 $dp[j]$ 转移过来，我们必须知道 $nums[i] - nums[j]$，因此，$dp$ 需要两个维度，第一个维度表示数组 $nums$ 的索引，第二个维度表示差 $diff$，由于 $diff$ 可能很大，还可能为负数，所以我们采用哈希表来记录。

因此 vector<unordered_map<long, long>> dp。

此外，还有一个问题，那就是题目要求数组长度至少为 $3$，而要在状态转移过程中排除掉长度为 $2$ 的序列数是比较麻烦的，其实我们可以等计算完之后再去除长度为 $2$ 的队列，即减去 $\binom{n}{2}$。

代码 链接到标题 

class Solution {
  public:
    int numberOfArithmeticSlices(vector<int> &nums) {
        if (nums.size() < 3) {
            return 0;
        }
        int n = nums.size();
        int res = 0;
        vector<unordered_map<long, long>> dp(n);
        for (int i = 1; i < n; ++i) {
        	for (int j = 0; j < i; ++j) {
        		long diff = (long)nums[i] - nums[j];
        		dp[i][diff] += 1 + dp[j][diff];
        		res += 1 + dp[j][diff];
        	}
        }
        return res - n * (n - 1) / 2;
    }
};