问题描述 链接到标题

1483. 树节点的第 K 个祖先 (Hard) 给你一棵树，树上有 n 个节点，按从 0 到 n-1 编号。树以父节点数组的形式给出，其中 parent[i] 是节点 i 的父节点。树的根节点是编号为 0 的节点。

树节点的第 k个祖先节点是从该节点到根节点路径上的第 k 个节点。

实现 TreeAncestor 类：

  • TreeAncestor（int n， int[] parent） 对树和父数组中的节点数初始化对象。
  • getKthAncestor (int node, int k) 返回节点 node 的第 k 个祖先节点。如果不存在这样的祖先节点，返回 -1 。

示例 1：

输入：
["TreeAncestor","getKthAncestor","getKthAncestor","getKthAncestor"]
[[7,[-1,0,0,1,1,2,2]],[3,1],[5,2],[6,3]]

输出：
[null,1,0,-1]

解释：
TreeAncestor treeAncestor = new TreeAncestor(7, [-1, 0, 0, 1, 1, 2, 2]);

treeAncestor.getKthAncestor(3, 1);  // 返回 1 ，它是 3 的父节点
treeAncestor.getKthAncestor(5, 2);  // 返回 0 ，它是 5 的祖父节点
treeAncestor.getKthAncestor(6, 3);  // 返回 -1 因为不存在满足要求的祖先节点

提示：

  • 1 <= k <= n <= 5 * 10⁴
  • parent[0] == -1 表示编号为 0 的节点是根节点。
  • 对于所有的 0 < i < n ， 0 <= parent[i] < n 总成立
  • 0 <= node < n
  • 至多查询 5 * 10⁴ 次

解题思路 链接到标题

朴素的想法即一层一层地找父结点，时间复杂度为 $O(n)$，因此总的时间复杂度为 $O(n^2)$，会 TLE，因此我们需要构思一个时间复杂度更低的寻找父结点的办法，其实从时间复杂度也可以想到，这个寻找父结点的时间复杂度应该是 $O(\log n)$ 的，于是我们就可以想到类似二分的思路。

例如，假设要求 getKthAncestor(1, 8)，那么我们可以先求 x = getKthAncestor(1, 4)，再求 getKthAncestor(x, 4)，这里其实就有点像是动态规划的意思了。

我们令 $dp[i][j]$ 为 结点 $i$ 的第 $2^j$ 个祖先结点，那么 $dp[i][j] = dp[dp[i][j - 1]][j]$，且 $dp[i][0] = parent[i]$。

我们可以类初始化的时候，初始化这个 $dp[i][j]$ 数组，由于 $1 \leq k \leq n \leq 5 * 10^4$，因此 $dp$ 的第一维度的大小为 $n$，第二维度的大小开到 $logk = 20$ 就够了，在构造函数中，计算 $dp[i][j]$ 数组，计算时要注意 $dp[i][j] = -1$ 的情况。

到了 getKthAncestor() 函数中，我们可以结合位运算去计算父结点：$pa = dp[pa][i]$，前提是 $ ((1 « i) & k) \neq 0$，如果计算出来 $pa = -1$，直接 return pa。

代码 链接到标题 

class TreeAncestor {
  public:
    TreeAncestor(int n, vector<int> &parent) :
        cnt_(n), index_(0), dp(n) {
        int x = 0;
        for (int i = 0; i < parent.size(); ++i) {
            parent_.push_back(parent[i]);
        }
        for (int i = 0; i < cnt_; ++i) {
            for (int j = 0; j < logk; ++j) {
                dp[i].push_back(-1);
            }
        }
        for (int i = 0; i < cnt_; ++i) {
            dp[i][0] = parent_[i];
        }
        while (index_ < logk) {
            for (int i = 0; i < cnt_; ++i) {
                if (dp[i][index_] != -1) {
                    dp[i][index_ + 1] = dp[dp[i][index_]][index_];
                }
            }
            x *= 2;
            ++index_;
        }
    }
    int getKthAncestor(int node, int k) {
        // dp[node][i] 表示出 node 的第 2^i 个祖先
        // dp[node][i] = dp[dp[node][i - 1]][i - 1];
        int pa = node;
        for (int i = 0; (1 << i) <= k; ++i) {
            if (((1 << i) & k) != 0) {
                pa = dp[pa][i];
                if (pa == -1) {
                    return pa;
                }
            }
        }
        return pa;
    }

  private:
    int cnt_;
    vector<int> parent_;
    int index_;
    vector<vector<int>> dp;
    const int logk = 20;
};